베르누이 방정식의 세 항은 각각 압력, 속도, 위치를 의미하며, 벤투리관에서는 액주 높이(압력 변화)를 통해 속도와 위치의 변화를 유추할 수 있다. 특히 마찰 손실이 없다고 가정하면 전 수두가 일정하므로, 측정된 압력으로부터 위치와 속도의 변화를 정확하게 역산해 낼 수 있다. 따라서 벤투리관 실험을 통하여 베르누이 방정식을 직관적으로 이해할 수 있다. 관의 형상과 유동 조건을 바꾸면서 압력수두, 속도수두, 위치수두가 어떻게 달라지는지 확인해 보자.
물 20°C · ρ = 1000 kg/m³ · g = 9.81 m/s² · 대기압 101.325 kPa
정상·비압축성 1차원 교육 모델. 입구 조건을 지정하고 나머지를 계산한다.
관의 형상과 유동 조건
Q = A₁v₁ = A₂v₂ · A = πD²/4
목 D ↓ → A ↓ → v ↑ → 속도수두 ↑ → 압력수두 ↓ (입구 조건·높이·손실 고정)
추가 설정 · 입구 높이와 손실수두
손실은 With loss에서만 적용한다. 입력한 hL을 입구에서 출구까지 선형으로 분배하며, 실제 관 마찰이나 CFD 결과를 예측하지 않는다. 목 높이는 입구와 출구 높이의 중간값이다.
세로 구간: 기준면 → 관 중심 → 액면(HGL) → EGL. 물은 중심선 정압을 읽는 등가 측정관에 HGL까지만 채워진다. 속도수두와 위치수두 선은 물이 아니다. 측정관 상단은 기준면에서 4.5 m로 고정하며, 화면 밖 부분은 //로 생략한다. 눈금은 자동 조정된다. 관 직경만 2배 과장하며 입자는 평균속도 표식이다.
계산 결과 · 세 항의 분배
정압 항이 음수이면 빗금 막대가 아래로 향한다. 음의 게이지압도 계산에 포함하며 0으로 잘라내지 않는다. 관 그림은 표시 모드와 관계없이 항상 m 높이로 그린다.
| 구분 | 계산값 | ① 입구 | ② 목 | ③ 출구 |
|---|
입구 유속·정압·높이를 바꾸면 공급 전체 수두도 달라진다. Ideal의 ‘일정’은 한 설정에서 위치별 전체 수두가 같다는 뜻이다. 출구 압력을 대기압으로 추가 고정하지 않는다.
해볼만한 조작
- 목 직경을 40 mm에서 30 mm로 줄인다. 입구 조건이 같을 때 유량은 유지되고, 목의 유속과 동압은 증가한다. 정압과 액주 높이는 낮아진다.
- 출구 높이를 올린다. 직경과 유량이 같으므로 출구 유속은 그대로다. 위치수두가 늘어난 만큼 압력수두가 줄어든다.
- 표시 단위를 Pressure 로 전환한다. 동압을 밀도와 중력가속도로 나눈 값이 Head 모드의 속도수두임을 비교한다.
- With loss를 선택하고 추가 설정에서 손실수두를 늘린다. EGL과 전체 수두가 흐름 방향으로 낮아진다. 손실이 0이면 Ideal과 같은 결과다.
위치별 유속 및 정압 계산 순서
입구 유속·정압·높이와 관 직경이 초기값이다. 유량은 이며 위치별 유량은 연속방정식에 따라 일정하다. 위치별 유량을 와 같이 속도에 대하여 나타내면 각 위치의 유속은 관의 직경에 따라 달라짐을 알 수 있다. 이때 입구에서 구한 전체 수두가 유지된다고 가정하면, 각 지점의 유속과 높이로부터 다른 위치의 정압을 순차적으로 계산할 수 있다.
여기서 주의할 점은 모든 위치의 정압, 유속, 높이를 각각 독립적으로 지정해서는 안 된다는 것이다. 출구 압력 또한 입구 조건과 관의 형상에 의해 결정되는 계산 결과이므로, 임의로 대기 개방 출구 조건을 동시에 가정하면 모순이 발생한다. 이상적인 유동(Ideal) 조건에서 일정하게 유지되는 것은 시스템 전체의 ‘전체 수두’뿐이며, 입구의 유속이나 압력을 바꾸면 공급되는 전체 수두 자체 가 변하게 된다. 이를 이해한 상태에서 벤투리관을 조작해보자.
그림을 읽는 방법
관 그림 안에서 기준면부터 중심선까지는 위치수두, 중심선부터 액면까지는 압력수두, 액면부터 EGL까지는 속도수두로 구분한다. 각 위치 아래에 같은 색으로 수치와 합계를 표시한다. 속도수두와 위치수두의 색 선은 실제 물기둥이 아니다. HGL/EGL을 끄면 보조선과 속도수두 표시가 사라지지만 액주는 남는다.
관 직경은 세로 방향으로 2배 과장하지만, 중심선과 액면·HGL/EGL의 높이는 실제 m 눈금을 쓴다. 측정관은 중심선 정압을 읽는 등가 연결로 표시한다. 상단 높이는 기준면에서 4.5 m로 고정하고 화면 밖의 빈 관 부분은 //로 생략한다. 자동 눈금 조정으로 관의 화면상 길이가 달라질 수 있지만 실제 상단 높이는 고정이다.
수두 그림은 기준면에서 위치수두를 올리고, 압력수두와 속도수두를 차례로 더한다. 세 항을 옆으로 조금씩 벌려 표시해 음의 압력수두도 가려지지 않게 했다. 각 막대는 앞 항이 끝난 높이에서 이어지며, 검은 선이 합계다. 수직 길이는 같은 눈금을 쓴다.
이 그림의 피에조미터 액주는 중심선 높이의 측정 위치에서 HGL까지다. 중심선 정압이 대기압보다 낮으면 열린 액주를 유지할 수 없으므로 그림에서 숨기고 안내한다. 음의 게이지압 자체를 잘못된 값으로 취급하지는 않는다.
Pressure 모드의 Total은 이다. 높이 항을 제외한 정체압 와 구별한다. 동압의 의미는 동압은 무엇인가?를 참고하면 된다.
모델에 사용된 가정
이 실험은 물 20°C를 가정한 정상·비압축성 1차원 모형이다. 단면 평균속도를 사용하고 운동에너지 보정계수를 1로 둔다. 직경은 원형 관의 면적 계산에 사용하며, 관의 높이는 입구와 출구 사이에서 완만하게 변한다. 입자는 속도 차이를 보여주는 표식이지 실제 입자의 난류 궤적은 아니다.
With loss에서는 입력한 전체 손실을 길이 방향으로 선형 분배한다. Darcy–Weisbach 마찰이나 형상별 손실계수를 계산하지 않으므로 실제 벤투리 유량계의 성능 예측에는 사용할 수 없다. 형상을 바꿀 때 생기는 비정상 유동, 액주의 진동, 박리와 캐비테이션도 계산하지 않는다.
물의 증기압 약 2.34 kPa 절대압 이하에 접근할 수 있는 입력 조합은 보수적인 압력 하한으로 검사해 거절하고 이전 상태를 유지한다. 이 경계는 음의 게이지압 0과 다르다. 캐비테이션 발생 위치나 기포의 크기를 예측하는 기능은 아니다.
관계식은 USBR의 벤투리 유량계 설명과 에너지 수지·수두 설명을 참고했다.