비행기가 뜨는 원리

비행기는 오래전에 이미 상용화 되었지만 뜨는 원리에 대해서는 아직도 잘못 알려진 것이 많다. 본 게시글에서는 비전공자 입장(사실 학부에서 배우긴 했다)에서 최근까지 알려진 비행기가 뜨는 원리를 간단하게 조사해 보았다.

결론을 먼저 간단하게 이야기 하자면, 수평한 방향으로 전진하는 날개를 지나는 유동이 수평하게 계속 지나가는것이 아니라, 전체적으로 아래쪽 운동량을 얻으면서 날개에는 위쪽 힘이 발생한다는 것이다. 이 현상을 압력·에너지·운동량과 순환 등 여러 관점에서 설명할 수 있으며, 하나씩 알아보고자 한다.

날개가 공기에 아래쪽 운동량을 주면 날개에는 반대 방향의 힘이 작용한다. 양력과 항력은 날개에 작용하는 공기력을 각각 자유류에 수직·평행한 성분으로 나눈 것이다. 후류 속도의 수직·수평 성분이 곧 양력·항력이 되는 것은 아니며, 실제 힘을 계산하려면 주변의 압력과 운동량 흐름을 함께 고려해야 한다.

1. 베르누이 정리: 잘못된 정보의 1등공신

비행기가 뜨는 원리와 관련해서 가장 잘못 알려진 정보는 아래 그림과 같다. 날개의 전면에서 출발한 유동은 위, 아래로 갈라지는데, 경로의 길이와 상관없이 후면에 동시에 도착한다는 설명으로, 이는 상단 경로가 더 길 경우 더 빠르게 유동이 움직인다는 뜻이다. 여기에 ‘상단에서 더 빠르게 움직이면 공기의 밀도가 낮아지고, 그 결과 아래쪽보다 압력이 낮아져 위쪽으로 힘이 발생한다’는 설명이 붙기도 한다. 그러나 이 글에서 다루는 저속 유동은 밀도가 거의 일정하다고 보아도 양력을 설명할 수 있으며, 빠른 흐름을 곧 낮은 밀도로 연결하는 것 역시 부정확하다. 그러나 날개 전면에서 양갈래로 동시에 출발한 유동이 후면에서 만나야 할 이유는 없으며, 실제 실험에서도 동시에 만나지 않는것이 검증되었다. 따라서 위와같이 설명하는 방식은 잘못된 것이다. 그렇다면 어디서 이러한 오해가 시작되었을까?

흔히 ‘윗길이 더 길기 때문에 더 빨리 흘러야 한다’는 설명에 사용하는 도식이다. 여기에 ‘위아래 공기가 뒤에서 동시에 만나야 한다’는 가정을 붙여 유속을 정하면 잘못된 양력 모델이 된다. 그림의 화살표는 이동시간이나 실제 속도 크기를 나타내지 않는다. ‘Incorrect model’은 이러한 설명의 오류를 뜻하며, 베르누이 방정식 자체가 틀렸다는 의미는 아니다.

베르누이 방정식

베르누이 방정식은 흐르는 유체의 압력·속도·높이가 어떻게 연결되는지를 에너지 보존으로 설명하는 식이다. 유체가 흐르면서 속도가 빨라지거나 더 높은 곳으로 올라가려면 에너지가 필요하다. 외부에서 에너지를 공급받지 않고 손실도 없다면, 그 변화는 압력과 관련된 에너지 등 다른 항의 감소로 충당되어야 한다.

예를 들어 수평인 관의 좁은 구간을 지날 때는 유속이 빨라져 운동에너지가 커지고, 그만큼 정압이 낮아진다. 반대로 같은 속도를 유지하며 더 높은 곳으로 흐르면 위치에너지가 커지는 만큼 정압이 낮아진다. 이처럼 압력·속도·높이를 각각 따로 보는 대신, 세 항의 합이 보존된다는 관계로 함께 보는 것이 베르누이 방정식의 핵심이다.

이를 정상·비압축성 유동에서 점성 손실과 펌프·터빈의 에너지 출입을 무시하고, 한 유선을 따라 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$P+\frac12\rho v^2+\rho gz=\text{constant}$$

$P$는 정압, $\rho$는 밀도, $v$는 유속, $g$는 중력가속도, $z$는 기준면에서의 높이다. 세 항은 각각 압력이 하는 일, 운동에너지, 위치에너지를 단위 부피당 값으로 나타내며 모두 Pa 단위를 갖는다. 이 관계로 서로 무관한 두 흐름의 압력을 속도만 보고 비교할 수는 없다.

동압은 무엇인가?

가운데 항 $q=\frac12\rho v^2$가 동압이다. 흐름의 운동에너지를 압력 단위로 표현한 값으로, 정압에 더해 모든 방향으로 따로 누르는 압력이라는 뜻은 아니다. 같은 밀도에서 유속이 두 배면 동압은 네 배가 된다.

비압축성 유동을 같은 높이에서 손실 없이 정지시키면 정체압은 $P_0=P+q$가 된다. 따라서 이 조건에서 정체압과 정압의 차이가 동압이다. NASA Glenn — Dynamic Pressure.

벤투리관에서는 어떻게 보일까?

관을 가득 채운 물이 새거나 쌓이지 않고 흐르면, 어느 단면에서나 유량이 같다.

$$Q=Av,\qquad A_1v_1=A_2v_2$$

같은 유량에서 단면적이 작아지면 유속이 커진다. 수평 벤투리관의 좁은 목에서는 유속과 동압이 커지고 정압은 낮아진다. 그래서 정압을 읽는 수직 측정관의 액주도 낮아진다. 다시 넓어지는 구간에서는 압력이 회복되지만, 실제로는 손실 때문에 처음 값까지 완전히 돌아오지는 않는다.

베르누이 식을 $\rho g$로 나누면 세 항을 모두 높이, 즉 수두(head)로 비교할 수 있다.

$$\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z=H$$

항	높이로 읽는 뜻
압력수두 $P/(\rho g)$	그 압력과 균형을 이루는 같은 유체의 액주 높이
속도수두 $v^2/(2g)$	운동에너지를 높이로 환산한 값
위치수두 $z$	기준면에서 측정 위치까지의 높이

압력수두에 위치수두를 더한 선이 HGL(동수경사선), 세 항을 모두 더한 선이 EGL(에너지선)이다. 두 선 사이의 간격은 속도수두다. 손실이 없으면 EGL은 일정하고, 손실이 있으면 흐름 방향으로 낮아진다. USBR — 에너지 수지와 수두.

벤투리관 인터랙티브에서 직접 확인하기 →

목 직경을 줄여 유속과 액주 높이를 비교해 보자. 다음에는 유량과 직경을 유지한 채 출구 높이를 올려 본다. 유속은 그대로이고, 위치수두가 늘어난 만큼 압력수두가 줄어든다. Pressure와 Head는 같은 관계를 서로 다른 단위로 보여준다.

그렇다면 날개 유동에 관한 오해는 어디서?

다시 날개 이야기로 돌아가자면,

벤투리관에서는 정상상태의 비압축성 유동을 가정할 때, 어느 단면에서나 체적유량이 일정하게 유지된다. 따라서 관의 단면적이 좁아지면 유체의 속도가 증가하고, 베르누이 방정식에 따라 정압은 감소한다. 이러한 원리를 비행기 날개에도 그대로 적용하여, 날개의 볼록한 윗면이 유동 통로를 좁히기 때문에 공기의 속도가 빨라지고 압력이 낮아진다는 설명이 널리 사용되어 왔다.

그러나 비행기 날개는 벤투리관과 달리 유동을 제한하는 고정된 상부 벽이 존재하지 않는다. 따라서 날개 윗면이 볼록하다는 사실만으로 유동 단면적이 감소하거나 공기의 속도가 증가한다고 단정할 수 없다. 실제 날개 주변의 유속과 압력 분포는 날개의 형상뿐 아니라 받음각, 순환 및 주변 유동장의 상호작용에 의해 결정된다. 따라서 베르누이 방정식 자체가 잘못된 것은 아니며, 유속이 증가하는 원인을 부정확하게 설명한 것이 문제다.

베르누이 방정식에서의 비행기가 뜨는 원리

앞서 살펴본 설명들이 잘못되었다고 해서 베르누이 방정식을 이용한 양력의 설명 자체가 틀린 것은 아니다. 실제로 베르누이 방정식은 날개 주변의 압력 분포와 양력 발생을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

비행기 날개가 공기 중을 이동하면 날개의 형상과 받음각 등의 영향으로 주변에 복잡한 유동장이 형성된다. 이 과정에서 일반적으로 양력을 발생시키는 날개의 윗면에서는 공기의 속도가 증가하고, 아랫면에서는 상대적으로 낮은 속도가 나타난다. 이러한 유속 분포는 날개 주변의 압력 분포와 밀접하게 연결되어 있다.

베르누이 방정식에 따르면 정상상태의 비압축성, 비점성 유동에서 동일한 유선을 따라 유속이 증가하면 정압은 감소한다. 따라서 날개 윗면에서 공기가 가속되는 영역에는 낮은 압력이 형성되며, 날개의 아랫면과 윗면 사이에 발생하는 압력 차이는 날개에 작용하는 공기역학적 힘을 만들어 낸다. 특히 날개 윗면에 형성되는 낮은 압력은 일반적인 비행 조건에서 양력 발생에 큰 기여를 한다.

그러나 여기서 주의할 점은 베르누이 방정식만으로 날개 주변의 유속 분포를 결정할 수는 없다는 사실이다. 공기가 날개 윗면에서 빨라지는 이유를 설명하려면 날개의 형상과 받음각, 순환, 유동의 경계조건 등을 함께 고려해야 한다. 베르누이 방정식은 이렇게 형성된 유동장에서 유속과 압력이 어떤 관계를 갖는지 설명하는 역할을 한다.

한편 날개에 작용하는 양력은 공기의 운동량 변화라는 관점에서도 설명할 수 있다. 날개 주변의 압력 분포는 공기의 흐름을 변화시키며, 그 결과 날개를 통과한 공기는 전체적으로 아래쪽으로 편향된다. 공기가 하향 운동량을 얻는 동안 날개에는 반대 방향의 힘이 작용한다.

따라서 베르누이 방정식을 이용한 압력 분포의 설명과 뉴턴의 운동량 보존 법칙을 이용한 다운워시의 설명은 서로 경쟁하는 이론이 아니다. 두 설명은 동일한 공기역학적 현상을 각각 압력과 운동량의 관점에서 해석한 것이다.

아래에서는 비행기가 뜨는 원리와 관련된 다른 개념들도 살펴보고자 한다. 각 설명이 별도의 양력을 더하는 것이 아니라, 같은 유동의 서로 다른 측면을 설명한다는 점을 염두에 두자.

2. 마그너스 효과: 회전하는 공은 왜 휘어질까?

베르누이 방정식과 마그너스 효과는 어떻게 연결될까?

마그너스 효과(Magnus effect, 매그너스 효과)는 회전하는 물체가 주변 유체와의 상대적인 흐름 속에서 횡방향 힘을 받는 현상이다. 회전하는 공의 궤적이 휘는 것이 대표적인 예다. 여기서 ‘먼저 회전한다’는 말은 회전이 힘을 만드는 조건이라는 뜻이다. 유동의 속도 차이가 물체를 돌리려는 현상을 마그너스 효과라고 부르는 것은 아니다.

베르누이 방정식과 마그너스 효과는 서로 다른 질문에 답한다.

구분	베르누이 방정식	마그너스 효과
핵심 질문	흐름의 압력·속도·높이는 어떻게 연결되는가?	회전하는 물체는 왜 흐름을 가로지르는 힘을 받는가?
물체의 회전	필요하지 않다.	핵심 조건이다.
설명하는 내용	정해진 조건에서 유체의 에너지 보존 관계	회전이 주변 유동을 바꾸어 횡방향 힘을 만드는 현상
둘의 연결	형성된 유동에서 적용 조건에 맞는 영역의 속도·압력 관계를 설명한다.	그 유동이 만들어지는 과정에는 점성·경계층·박리 등이 관여한다.

회전하는 공에서는 표면의 회전이 주변 유동에 영향을 주고, 비대칭적인 압력분포가 형성되어 궤적을 휘게 하는 힘이 생긴다. 실제 힘은 경계층과 박리, 표면의 거칠기에도 영향을 받는다. 베르누이 관계는 속도와 압력을 연결하지만, 회전이 그 유동을 만드는 과정 전체를 설명하지는 않는다. NASA Glenn — Lift of a Baseball.

회전 원통에 의한 Magnus force 생성 개념도. 파란 선은 유선, 주황색 화살표는 원통의 회전, 초록색 화살표는 이 조건에서의 마그누스 힘을 나타낸다.

그림은 공기 흐름이 왼쪽에서 오른쪽 방향이고, 원통은 시계 방향으로 돌고 있다. 이때 위쪽에서는 회전으로 유도된 흐름이 주된 흐름과 같은 방향이어서(잘 관찰해보면 원통면이 움직이는 방향이 유동의 방향과 일치한다) 상대적으로 빠르고, 아래쪽에서는 반대 방향이어서 상대적으로 느리게 그려졌다. 이상적인 모형에서 위아래 흐름이 같은 정체압을 갖는다고 보면, 베르누이 관계에 따라 빠른 위쪽 흐름의 정압이 느린 아래쪽보다 낮다. 이 비대칭적인 압력분포를 원통 표면 전체에 걸쳐 합하면 그림에서는 위쪽 힘이 발생한다. 공기가 아래쪽에 계속 쌓이기 때문에 압력이 높아진다는 뜻은 아니다.

그림은 회전 원통의 단순화된 설명이며, 회전하는 공의 실제 유선이나 힘의 크기를 그대로 보여주는 것은 아니다. 실제 유동에는 점성·경계층·박리가 관여한다. NASA Glenn — Lift of a Rotating Cylinder.

그러면 날개의 양력도 마그너스 효과일까?

일반적인 고정 날개는 스스로 회전하지 않아도 형상과 받음각으로 주변 유동을 바꾸어 양력을 만든다. 따라서 일반 날개의 양력을 마그너스 효과라고 부르지는 않는다. 다만 두 경우 모두 주변 유동과 압력분포의 비대칭으로 힘이 생긴다. 회전 원통과 날개를 이상적인 2차원 모형으로 다룰 때는 ‘순환’이라는 공통 개념으로 양력을 설명할 수 있다. 여기서 순환은 유동의 성질이며, 물체 자체의 회전을 뜻하지 않는다.

날개에는 자세를 바꾸려는 피칭 모멘트도 생길 수 있다. 날개 표면의 힘이 기준점의 앞뒤 어디에 얼마나 작용하는지에 따라 기수를 들거나 숙이려는 회전 효과가 생기는 것이다. ‘공기력이 날개를 피치 방향으로 돌리려는 것’은 피칭 모멘트이고, ‘회전하는 물체가 흐름 속에서 횡방향 힘을 받는 것’은 마그너스 효과다.

이 차이를 염두에 두고, 이제 회전하지 않는 날개가 어떻게 흐름을 바꾸는지 살펴보자.

3. 공기는 왜 날개 주위에서 방향을 바꿀까?

베르누이 방정식은 속도와 압력의 관계를 알려 주지만, 흐름의 방향이 바뀌는 과정은 뉴턴의 제2법칙으로 생각하면 더 이해하기 쉽다. 속력은 같더라도 방향이 바뀌면 가속도가 생기므로, 공기가 곡선을 따라 흐르려면 힘이 필요하다.

흐름을 따라가는 압력 차이와 흐름을 가로지르는 압력 차이

경계층 바깥에서 점성과 중력을 무시하면, 이 힘은 주로 주변의 압력 차이에서 온다. 작은 공기 덩어리의 뒤쪽 압력이 앞쪽보다 높으면 진행 방향으로 합력이 생겨 속력이 증가한다. 압력이 흐름을 따라 어떻게 달라지는지를 압력구배라고 하며, 정상 유동에서는 다음 관계로 나타낼 수 있다.

$$\rho V\frac{dV}{ds}=-\frac{dP}{ds}$$

$s$는 유선을 따라 잰 거리, $V$는 그 위치의 속력이다. 흐름 방향으로 압력이 낮아지면 $dP/ds$가 음수이므로 속력이 커진다. 이 식을 일정한 밀도에서 적분하면 1번의 베르누이 관계가 나온다. ‘빠른 흐름과 낮은 압력’은 에너지 보존뿐 아니라 공기 덩어리에 작용하는 힘으로도 이해할 수 있다. Babinsky — How Do Wings Work?.

흐름을 휘게 하는 압력 차이는 이와 다른 방향에 있다. 곡선을 따라가는 공기에는 곡률 중심을 향한 가속도 $V^2/R$가 필요하다. 따라서 곡률 중심에서 바깥쪽으로 잰 거리 $n$에 대해 다음 관계가 성립한다.

$$\frac{\partial P}{\partial n}=\rho\frac{V^2}{R}$$

$R$은 날개 표면이 아니라 유선의 국소 곡률반경이다. 바깥쪽의 높은 압력이 안쪽의 낮은 압력보다 더 세게 누르므로 공기가 휘어진다. 같은 속력이라면 더 급하게 휘는 흐름일수록 더 큰 압력구배가 필요하다. 다만 이 식 하나로 날개 전체의 유속이나 압력을 정할 수는 없다. MIT — Streamline Curvature and Lift Generation.

주황색·파란색 화살표는 양쪽 압력에 의한 힘, 초록색 화살표는 합력을 나타낸다. 아래의 수평·비스듬한 파란색 화살표는 서로 다른 위치에서의 속도 방향이다. 압력 힘은 공기의 속력과 방향을 모두 바꿀 수 있다. 개념도이므로 화살표 길이로 실제 압력이나 힘을 계산하지 않는다.

날개 전체의 압력분포는 어떻게 양력이 될까?

그렇다고 ‘날개가 공기를 먼저 휘게 하고, 그다음에 압력이 낮아진다’처럼 한 방향의 원인과 결과로만 나누기는 어렵다. 공기는 날개를 관통할 수 없고, 멀리서는 주어진 방향과 속도로 들어온다. 이러한 조건과 질량·운동량 보존을 동시에 만족하도록 압력장과 속도장이 함께 결정된다. 점성을 무시한 유동은 오일러 방정식, 점성까지 포함한 유동은 나비에–스토크스 방정식으로 다룬다. NASA Glenn — Bernoulli and Newton.

날개는 아랫면으로 공기를 밀어내기만 하는 것이 아니다. 윗면과 아랫면 모두 흐름을 바꾸며, 압력의 영향은 날개에서 떨어진 주변 공기에도 미친다. 표면 전체에 작용하는 압력에 의한 힘을 합한 뒤, 멀리서 들어오는 흐름에 수직인 성분을 취하면 양력이 된다. 실제 표면에는 점성에 의한 전단력도 작용하지만, 일반적인 날개의 양력은 주로 압력분포로 결정된다. NASA Glenn — What is Lift?.

아래는 4번에서 설명할 주코프스키 날개를 이용해 직접 계산한 예다. 유선과 압력분포를 따로 그린 두 이야기가 아니라, 같은 유동의 방향·속력·압력을 함께 보여준다. 색과 그래프에 사용하는 압력계수는 자유류 정압과의 차이를 동압으로 나눈 값이다.

$$C_p=\frac{P-P_\infty}{\tfrac12\rho V_\infty^2}$$

$C_p$가 음수이면 자유류보다 낮은 압력이고, 양수이면 높은 압력이다. 음수 압력계수는 절대압력이 음수라는 뜻이 아니다. 윗면과 아랫면의 압력 차이를 한 지점에서만 비교하지 말고, 표면 전체의 분포와 힘의 방향을 함께 보아야 한다. 아랫면의 압력도 일부 구간에서는 자유류보다 낮을 수 있다. University of Sydney — Surface Pressure Distribution and Lift.

위는 2차원 이상 유동의 압력계수 색 분포와 유선이다. 아래는 같은 해의 표면 압력계수이며, 공기역학의 관례에 따라 음수 값을 위쪽에 표시했다. 이 예에서는 윗면의 넓은 구간이 낮은 압력이고, 아랫면도 뒷전 가까이에서 자유류보다 낮은 압력이다. 실제 날개의 경계층·실속·날개 끝 효과를 포함한 계산은 아니며, 그림 속 뒷전 조건과 순환은 다음 장에서 설명한다.

다운워시는 표면 압력과 어떤 관계일까?

날개 주위의 압력은 날개에 힘을 가하는 동시에 공기의 운동량도 바꾼다. 따라서 날개 표면에서 압력 힘을 합하는 방법과 주변 공기의 운동량 수지를 계산하는 방법은 같은 힘에 도달한다. 여기서 필요한 것은 영향을 받는 공기 전체의 운동량 흐름이지, 임의의 유선 하나가 기울어진 각도만은 아니다.

공기를 둘러싼 가상의 검사면에서 힘을 계산할 때에는 유입·유출의 운동량과 검사면의 압력 힘을 함께 고려해야 한다. ‘아랫면에 부딪힌 공기만 튕겨 내려간다’는 설명은 윗면과 주변 유동의 역할을 놓친다. NASA Glenn — Lift from Flow Turning.

코안다 효과가 공기를 날개에 붙잡아 두는 것일까?

코안다 효과(Coandă effect)는 제트가 가까운 표면을 따라 붙어 흐르는 현상을 설명할 때 쓰는 말이다. 곡면을 따라 제트를 분사하는 순환 제어 날개에서는 제트의 방향과 박리 위치를 바꾸어 순환과 양력을 조절할 수 있다. 이는 실제 양력 증가 기술이지만, 모든 날개에 별도의 ‘붙잡는 힘’을 더해야 한다는 뜻은 아니다. NASA — Noise Reduction through Circulation Control.

일반 날개에서 공기가 표면을 따라가는 모습에 이 이름을 붙이더라도, 그것만으로 유속·압력분포나 양력의 크기가 정해지지는 않는다. 앞의 압력구배와 경계조건, 그리고 5번의 경계층·박리를 함께 설명해야 한다. 공기가 항상 날개에 붙어 있어야 한다는 법칙도 없으며, 실제로 흐름이 크게 떨어지면 날개의 성능이 달라진다.

4. 순환과 쿠타 조건: 날개는 회전하지 않는데 왜 순환이 생길까?

앞서 마그너스 효과에서 언급한 순환은 물체를 둘러싼 닫힌 경로를 따라 속도의 접선 성분을 한 바퀴 적분한 값이다. 기호로는 $\Gamma$를 쓰며 단위는 $\mathrm{m^2/s}$다. 공기 입자가 날개 둘레를 계속 빙빙 돌거나, 날개 자체가 회전한다는 뜻은 아니다.

포텐셜 유동: 날개 주변의 흐름을 계산하는 출발점

앞에서는 ‘주변의 속도장과 압력장이 함께 결정된다’고 설명했는데, 실제로 그 속도장을 어떻게 구할까? 한 가지 출발점은 경계층 바깥의 흐름을 비압축성·비회전인 이상 유동으로 근사하는 것이다. 여기서 비회전은 작은 유체 요소가 자기 중심 주위로 회전하는 정도인 와도가 0이라는 뜻이다. 이때 속도를 속도 포텐셜이라는 함수로 나타내어 계산할 수 있어, 이를 포텐셜 유동이라고 부른다. York 대학 강의 — Velocity Potential and Complex Potential.

포텐셜 유동에서는 기본적인 해를 더해 복잡한 흐름을 구성할 수 있다. 예를 들어 원 주위로 돌아가는 유동에 순환 유동을 더하면, 2번에서 살펴본 회전 원통의 바깥 흐름을 나타낼 수 있다. 여기서 순환은 주어진 유동을 수학적으로 표현하는 항이며, 점성이 없는 원통이 스스로 주변 공기를 끌어 돌린다는 뜻은 아니다. 실제 회전 원통에서 순환이 형성되는 과정에는 점성이 관여한다.

‘비회전인데 순환은 있다’는 말이 모순처럼 들릴 수도 있다. 그러나 작은 유체 요소의 회전과 물체를 둘러싼 큰 경로의 순환은 서로 다르다. 날개나 원통의 내부는 바깥 유동의 계산 영역에서 빠져 있으므로, 바깥 유동의 와도가 0이어도 물체를 한 바퀴 둘러싼 경로의 순환은 0이 아닐 수 있다. York 대학 강의 — Circulation and the Magnus Effect.

쿠타 조건: 가능한 순환 중 어느 것을 고를까?

날개가 공기를 통과시키지 않는다는 조건과 멀리서 들어오는 유동의 조건만으로는 순환의 크기가 하나로 정해지지 않는다. 형상과 유입 조건을 만족하면서도 서로 다른 순환을 갖는 이상 유동 해가 가능하기 때문이다. 따라서 ‘순환을 더하면 양력이 생긴다’에서 멈추면, 실제 날개에 어떤 순환이 형성되는가라는 질문이 남는다.

이때 날개의 날카로운 뒷전에서 흐름이 무한히 빨라지거나 뒷전을 급하게 돌아가지 않고, 유한한 속도로 매끄럽게 떠난다는 쿠타 조건(Kutta condition)을 추가한다. 그 조건에 맞는 순환을 선택하면 뒷전 부근뿐 아니라 날개 전체의 속도분포가 바뀐다. 이는 위아래 공기가 동시에 도착하라는 조건이 아니다. MIT OpenCourseWare — Kutta Condition.

같은 형상·유입 조건으로 직접 계산한 2차원 이상 유동이다. 위는 순환을 0으로 둔 해, 아래는 쿠타 조건으로 순환을 정한 해다. 주황색 점은 뒷전이며 오른쪽은 그 부근의 확대도다. 위 해의 속도 발산은 유선 그림만으로 크기를 읽을 수 없고, 본문의 속도 변환식으로 확인하는 성질이다. 파란 선은 유선이지 입자의 이동시간 표시가 아니다. 자유류는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐른다.

실제 날개가 움직이기 시작할 때는 점성과 뒷전 부근에서 떨어져 나가는 출발 와류가 순환의 형성에 관여한다. 날개 주위에 형성되는 순환과 출발 와류의 순환은 반대 방향으로 연결된다. 쿠타 조건은 순환을 만들어 내는 새로운 힘이 아니라, 이러한 실제 유동의 뒷전 성질을 이상 유동 계산에 반영하는 조건이다. 이 조건으로 경계층이나 실속까지 모두 계산할 수 있는 것은 아니다. MIT — Lifting Surfaces.

이 연결을 이해할 때 켈빈의 순환 정리도 유용하다. 점성을 무시할 수 있는 일정 밀도 유동에서 보존력만 작용하면, 유체와 함께 움직이는 닫힌 경로의 순환은 보존된다. 날개와 출발 와류를 함께 포함하는 경로로 보면 양쪽의 반대 순환이 연결되는 이유를 이해할 수 있다. 다만 점성이 중요한 날개 표면 부근에 이 정리를 그대로 적용해 ‘순환이 저절로 생긴다’고 설명하면 안 된다. MIT — Formation of Lifting Flow.

주코프스키 변환: 원 주위의 해를 어떻게 날개에 옮길까?

마그너스 효과의 원통과 비행기 날개를 연결하는 수학적 방법이 주코프스키 변환(Joukowski transformation)이다. 계산하기 쉬운 원 주위의 유동을, 앞전은 둥글고 뒷전은 날카로운 날개 주위의 유동으로 옮긴다. 원 주위의 점을 복소수 $\zeta=x+iy$로 나타내면, 변환한 날개 평면의 점 $Z$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$Z=f(\zeta)=\zeta+\frac{a^2}{\zeta}$$

$a$는 길이 척도이며, $\zeta$와 $Z$도 길이 단위를 갖는다. $a=1$로 무차원화하면 흔히 보는 $Z=\zeta+1/\zeta$ 형태가 된다. 원의 중심과 반지름을 알맞게 정하면 두께와 캠버가 있는 날개 형상이 만들어진다. 이때 물체의 윤곽뿐 아니라 주변 유동의 해도 함께 옮겨야 한다. 이것이 단순한 도형 변형과 다른 점이다. NASA Glenn — Conformal Mapping.

원 주위의 복소 포텐셜로 계산한 유선을 위에 그리고, 각 점에 주코프스키 변환을 적용한 결과를 아래에 그렸다. 주황색 선은 서로 대응하는 같은 유선이며, 주황색 점은 원 위의 한 점이 날개의 뒷전으로 옮겨짐을 보여준다. 두 그림은 계산 좌표가 서로 다른 해이며 실제 원통이 날개로 변하는 과정이 아니다. 그림의 원에도 실제 물체의 회전을 뜻하는 화살표는 넣지 않았다.

여기서 등각사상(conformal mapping)이라는 말은 변환이 매끄럽고 미분값이 0이 아닌 영역에서 아주 작은 선들이 이루는 각도를 보존한다는 뜻이다. 길이나 면적, 속력까지 그대로 보존한다는 뜻은 아니다. 변환한 흐름의 속도는 원 주위의 속도를 그대로 복사하지 않고, 변환이 그 위치를 얼마나 늘이거나 줄이는지에 맞춰 다시 계산해야 한다.

수학적으로는 복소 포텐셜을 $F$라고 할 때 다음 관계를 사용한다. 복소 속도 $u-iv$에서 $u$, $v$는 각각 수평·수직 속도 성분이다.

$$u-iv=\frac{dF}{dZ} =\frac{dF/d\zeta}{dZ/d\zeta},\qquad \frac{dZ}{d\zeta}=1-\frac{a^2}{\zeta^2}$$

뒷전에 대응하는 $\zeta=a$에서는 분모가 0이 된다. 분자가 그대로 남아 있으면 계산한 속도가 무한대로 커진다. 쿠타 조건에 맞는 순환을 선택하면 그 점에서 분자도 0이 되어, 속도의 극한값이 유한해진다. 이 예에서는 ‘뒷전에서 매끄럽게 떠난다’는 물리적 조건이 ‘변환식의 속도 발산을 없앤다’는 수학적 조건과 연결되는 것이다. 주코프스키 변환이 뒷전에 날카로운 점을 만들므로, 그 점에서는 앞서 말한 일반적인 각도 보존 설명을 그대로 적용하지 않는다. York 대학 강의 — Conformal Mappings and Joukowski Mapping.

쿠타–주코프스키 정리: 순환을 양력으로 바꾸기

정상·비압축성의 2차원 이상 유동에서 순환을 알면 쿠타–주코프스키 정리(Kutta–Joukowski theorem)로 날개 단위 폭당 양력의 크기를 구할 수 있다.

$$|L'|=\rho V_\infty |\Gamma|$$

$L'$는 단위 폭당 양력($\mathrm{N/m}$), $V_\infty$는 날개의 영향을 받기 전 자유류의 속력이다. 힘의 방향은 순환의 방향에 따라 달라진다. 주코프스키 변환은 유동을 구하는 방법이고, 쿠타–주코프스키 정리는 순환에서 힘을 구하는 관계식이다. 이름은 비슷하지만 역할은 다르며, 이 양력 정리를 쓰기 위해 날개가 반드시 주코프스키 변환으로 만든 형상일 필요는 없다. York 대학 강의 — Kutta–Joukowski Lift Theorem.

베르누이 방정식으로 같은 높이의 바깥 유동을 비교하면, 구한 국소 속력 $V$를 압력으로 연결할 수 있다.

$$P-P_\infty=\frac12\rho\left(V_\infty^2-V^2\right)$$

여기서 $P_\infty$는 자유류의 정압이다. 따라서 선택한 순환으로 속도분포를 구하고, 이 식으로 압력분포를 구한 뒤, 표면의 압력 힘을 합해서도 양력을 계산할 수 있다. 그 결과는 쿠타–주코프스키 정리로 구한 값과 일치한다. 순환이 압력 차이에 더해 별도의 힘을 만드는 것은 아니다. 이 글의 유선 그림을 만들 때도 표면 압력의 수치 적분값과 순환으로 계산한 양력이 일치하는지 확인했다.

본문을 위해 직접 만든 이론 연결도다. 화살표는 계산 과정의 연결이며, 각 이론이 따로 힘을 만들어 합쳐진다는 뜻이 아니다. 뉴턴의 운동량 보존은 같은 힘을 주변 공기의 운동량 흐름과 검사면에 작용하는 압력 힘으로 계산하는 관점이다. 일반적인 검사면에서 압력 항을 빼고 후류 속도 하나만으로 양력을 구하면 안 된다. NASA Glenn — Bernoulli and Newton.

같은 형상·받음각의 이상 유동에서는 자유류 속력이 커지면 그 조건을 만족하는 순환도 비례해서 커진다. 그래서 양력이 $V_\infty\Gamma$에 비례한다는 설명은 7번의 양력이 속력의 제곱에 비례한다는 설명과도 연결된다. 다만 이상 유동만으로는 표면 마찰·박리에 따른 항력이나 실속을 예측할 수 없다. 실제 날개의 양력을 이해하려면 다음의 경계층과 3차원 날개 효과까지 이어서 보아야 한다.

5. 받음각과 경계층: 기수를 계속 들면 양력도 계속 커질까?

받음각은 날개의 앞전과 뒷전을 잇는 시위선과 날개로 들어오는 상대적인 공기 흐름 사이의 각도다. 기수가 수평선에 대해 얼마나 들렸는지를 나타내는 자세각과는 다르다. 비행기의 진행 방향도 함께 바뀌면 기수를 들더라도 받음각이 그만큼 커지는 것은 아니다.

흐름이 대체로 날개 표면을 따라가는 범위에서는 받음각을 높일수록 보통 양력계수가 커진다. 대칭형 날개는 받음각이 0일 때 양력이 거의 없지만, 적절한 양의 받음각에서는 양력을 만든다. 평균선이 휘어진 캠버가 있는 날개는 받음각이 0이어도 양력을 만들 수 있다. 평판도 적절히 기울이면 양력을 만들므로, 볼록한 윗면 자체가 양력의 필수 조건은 아니다. NASA Glenn — Inclination Effects on Lift, NASA Glenn — Factors That Affect Lift.

이를 정량적으로 근사하는 대표적인 방법이 얇은 날개 이론이다. 대칭형의 얇은 날개를 작은 받음각의 2차원 비압축성·붙은 유동으로 다루면, 단면 양력계수는 $c_l\simeq2\pi\alpha$로 근사된다. 여기서 $\alpha$는 라디안 단위다. 이것도 순환과 쿠타 조건을 사용하는 이론이며, 실제 유한한 날개 전체의 $C_L$이나 실속 이후까지 그대로 적용하는 공식은 아니다. NASA Glenn — Inclination Effects on Lift.

그런데 공기에는 점성이 있다. 날개에 고정된 좌표계에서 표면 바로 위 공기의 속도는 표면과 같아지고, 표면에서 멀어질수록 바깥 흐름의 속도에 가까워진다. 이 얇은 속도 변화 영역을 경계층(boundary layer)이라고 한다. 따라서 앞에서 말한 ‘윗면의 빠른 흐름’은 표면에 붙어 있는 공기 자체가 아니라 주로 경계층 바깥의 흐름을 가리킨다. NASA Glenn — Boundary Layer.

윗면에서 낮아진 압력은 뒤쪽으로 가며 다시 높아지는 구간을 갖는다. 흐름 방향으로 압력이 높아지는 역압력구배는 공기를 감속시키며, 특히 표면 가까이의 느린 경계층은 이를 견디기 어렵다. 강한 역압력구배에서 표면 부근의 흐름이 멈추거나 역류하면서 박리로 이어질 수 있다. 따라서 ‘빠른 윗면 유동’과 ‘항상 표면에 붙은 유동’을 같은 뜻으로 보아서는 안 된다. MIT — How an Airfoil Works.

받음각을 지나치게 키우면 윗면의 경계층이 크게 떨어져 나가는 박리가 일어나고, 압력분포가 달라져 양력계수가 감소하고 항력이 커지는 실속(stall)으로 이어진다. 실속했다고 양력이 반드시 0이 되는 것은 아니다. 실속의 핵심은 임계 받음각을 넘는 것이며, 단순히 속도가 느린 현상은 아니다. 낮은 속도에서 같은 무게를 지탱하려고 받음각을 키우다가 실속에 도달하기 쉬운 것이다. NASA Glenn — Inclination Effects on Lift.

6. 실제 날개에는 끝이 있다: 날개 끝 와류와 유도항력

지금까지의 단면 설명을 실제 비행기의 날개로 옮기면 한 가지가 더 필요하다. 실제 날개는 폭이 유한하므로, 끝부분에서는 상대적으로 압력이 높은 아랫면의 공기가 낮은 윗면 쪽으로 돌아 흐를 수 있다. 또 날개 폭을 따라 순환의 크기도 달라져, 뒤쪽으로 와류가 이어지는 3차원 후류가 형성된다. 이것이 말려 올라가면서 나타나는 대표적인 구조가 날개 끝 와류다.

이 후류의 와류는 날개 부근에 다운워시를 유도해 날개가 느끼는 국소적인 유입 방향을 바꾼다. 그 결과 유효 받음각이 줄고, 국소 흐름에 수직인 힘이 자유류를 기준으로 뒤쪽 성분도 갖게 된다. 이처럼 양력을 만드는 과정에 따라 생기는 항력을 유도항력(induced drag)이라고 한다.

그래서 실제 날개 전체의 양력을 단면의 2차원 결과에 날개 폭만 곱해서 정확히 구할 수는 없다. 날개 폭을 따라 순환과 다운워시를 함께 계산하는 대표적인 방법이 프란틀의 양력선 이론이다. 같은 양력·속도·기준 면적에서 길고 가느다란 날개는 일반적으로 유도항력을 줄이는 데 유리하며, 윙렛도 후류와 양력분포를 바꾸어 유도항력을 줄이는 데 쓰인다. 유도항력 외에도 표면 마찰과 박리 등에 의한 항력이 있으므로, 모든 항력을 다운워시 하나로 설명할 수는 없다. NASA Glenn — Induced Drag Coefficient.

지면 가까이에서는 왜 더 잘 뜨는 것처럼 느껴질까?

날개가 지면 가까이 오면 지면이라는 경계가 후류와 유도 유동을 바꾼다. 같은 양력을 낼 때 유도항력이 줄어들고, 같은 받음각에서는 양력계수가 커질 수 있는 지면효과(ground effect)가 나타난다. 착륙 직전 비행기가 오래 떠 있는 것처럼 느껴지거나, 이륙 직후 지면 근처에서 비행하기 쉬운 현상과 연결된다. 일반 날개가 높은 고도에서도 뜨는 원리를 대체하는 설명이 아니라, 지면 근처에서 달라지는 3차원 유동 효과다. FAA — Aerodynamics of Flight, Ground Effect.

7. 그래서 비행기는 왜 가속한 뒤 기수를 들까?

비행기를 타게 되면 활주로에서 얼마나 빠르게 가속하여 속도를 올리는지 느껴보기 바란다. 빠르게 속도를 올리는 이유는 한정된 활주로 길이에서 이륙에 필요한 대기속도를 확보해야 하기 때문이다. 날개 전체의 양력은 보통 다음과 같이 정리한다.

$$L=q_\infty SC_L=\frac12\rho V_\infty^2SC_L$$

여기서 $V_\infty$는 주변 공기에 대한 속력인 대기속도, $S$는 날개의 기준 면적, $C_L$은 형상·받음각·유동 조건에 따른 양력계수다. 여기서 쓰는 동압은 날개 표면의 국소 유속이 아니라 자유류 대기속도로 계산한다. $C_L$에는 점성·압축성·3차원 유동의 영향도 포함되며, 보통 이론 계산과 풍동 실험 등으로 구한다. NASA Glenn — Lift Equation.

대기속도와 활주로를 기준으로 한 지상속도는 다르다. 바람이 없을 때는 같지만, 맞바람이 불면 같은 지상속도에서도 대기속도가 더 크다. 그래서 양력 식에 자동차처럼 지면을 기준으로 잰 속도를 그대로 넣으면 안 된다. NASA Glenn — Relative Velocity: Aircraft Reference.

같은 밀도·면적·양력계수에서 속력이 두 배면 양력은 네 배다. 활주 중 가속으로 동압을 확보하고, 기수를 들어 받음각을 높이면 실속 전의 범위에서 $C_L$도 커진다. 충분한 양력이 생기면 바퀴가 지탱하던 무게를 날개가 맡게 된다. 이 식은 실제 이륙속도를 단독으로 정하는 식이 아니라, 속도와 받음각의 역할을 이해하는 관계식이다. NASA Glenn — Inclination Effects on Lift.

이륙·착륙 때 펼치는 플랩과 슬랫도 같은 원리를 활용한다. 플랩은 날개의 캠버를 바꾸고, 종류에 따라 면적도 늘려 더 큰 양력계수를 얻도록 한다. 슬랫은 앞전 부근의 유동을 바꾸어 박리를 늦추고 더 큰 받음각까지 양력을 유지하도록 돕는다. 이러한 장치로 최대 양력계수를 높이면 낮은 대기속도에서도 필요한 양력을 얻을 수 있다. FAA — Pilot’s Handbook of Aeronautical Knowledge, Flight Controls.

양력과 추력은 어떤 역할을 나누어 맡을까?

일반적인 고정익 비행기에서는 날개가 주로 무게를 지탱하고, 엔진의 추력은 항력을 이겨 대기속도를 유지하거나 가속하는 데 쓰인다. 추력이 거의 수평인 정속 수평비행에서는 항공기 전체의 양력과 무게, 추력과 항력이 각각 균형을 이룬다. 양력이 존재한다는 것과 비행기가 위로 가속한다는 것은 다르다. 상승이나 선회에서는 힘의 방향과 전체 합력을 다시 보아야 한다. NASA Glenn — Four Forces on an Airplane.

엔진이 없는 글라이더도 공기에 대한 속력을 가지면 양력을 만든다. 잔잔한 공기에서 활공할 때에는 고도를 잃으며 위치에너지를 사용해 항력에 의한 에너지 손실을 보충한다. 따라서 엔진 자체가 날개의 양력 발생에 꼭 필요한 것은 아니다. NASA Glenn — Gliders.

8. 다른 설명이나 비행 조건도 있을까?

일반적인 저속 고정익 비행기의 기본 설명은 앞의 압력 힘·운동량 보존·순환·경계층과 3차원 유동으로 연결된다. 다만 비행기 종류와 유동 조건이 바뀌면 아래와 같은 내용을 더 고려해야 한다.

추가로 만나는 개념	앞의 설명과의 연결
프로펠러의 공기력	회전하는 각 날개 단면이 상대적인 공기 흐름 속에서 힘을 만들고, 이를 추진에 이용한다. 회전 원통의 마그너스 효과와 동일한 설명은 아니다. NASA Glenn — Propeller Thrust.
와류 양력	델타 날개처럼 앞전에서 떨어진 유동이 강한 와류를 만들면, 그 와류가 윗면 압력분포를 바꾸어 양력에 기여한다. 여기서 사용한 붙은 유동의 2차원 모형으로는 충분하지 않다. NASA — Vortex Lift of Sharp-Edge Delta Wings.
압축성·충격파	속력이 음속에 가까워지거나 넘으면 밀도 변화와 충격파를 고려해야 한다. 비압축성 베르누이 식과 이 글의 유선 그림을 그대로 적용할 수 없다. NASA Glenn — Mach Number.

이 현상들에서도 날개나 공기에 작용하는 힘은 운동량 보존을 만족한다. 서로 독립된 여러 힘의 이름을 모으기보다, 어떤 유동이 만들어지고 그 압력과 운동량이 어떻게 달라지는지를 묻는 것이 더 유용하다.

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